Jonathan Fröhlich hat im Juli 2017 seine Masterarbeit zum Thema "Heterogeneous Multiscale Methods for Poroelastic Media" eingereicht. Sie wurde von Professor Christian Wieners in unserem Institut betreut. Strömungs- und Transportphänomene in sogenannten porösen Medien spielen eine wichtige Rolle in einem breiten Spektrum von Bereichen und Anwendungen, wie zum Beispiel in der Landwirtschaft, der Biomedizin, der Baugeologie und der Erdöltechnik. Betrachtet man beispielsweise den Boden, so stellt man fest, dass der Sand, das Gestein oder der Kies keine homogene Masse ist mit homogenen Materialeigenschaften, sondern aus unzähligen unterschiedlich großen und in den physikalischen Eigenschaften variierenden Teilen bestehen. Die hohe Heterogenität solcher Medien führt auf eine große Komplexität, die im Modell des porösen Mediums stark vereinfacht betrachtet wird. Es liegt deshalb die Frage nahe: Wie verallgemeinert man herkömmliche Modelle für poröse Medien so, dass nicht gleich die komplette Zusammensetzung benötigt wird, aber mehr von der Struktur berücksichtigt wird?

Die vorliegende Arbeit und unser Gespräch konzentrieren sich auf einen Spezialfall, nämlich die einphasige Strömung durch poroelastische Medien. Sie sind gekennzeichnet durch die Wechselwirkung zwischen der Beanspruchung der intrinisischen Struktur und der Strömung der Flüssigkeit. Konkret erzwingt die Änderung des Flüssigkeitsdrucks eine Beanspruchung des Materials, wodurch es beschleunigt und bewegt wird. Ein Beispiel hierfür ist der Blutfluß durch Adern. Das Blut verändert im Fließen ständig die konkrete Geometrie der elastisch verformbaren Adern und gleichzeitig ändern die Adern die Fließrichtung und -geschwindigkeit des Blutes. Dieser Prozeß wird mit bestimmten partiellen Differentialgleichungen (PDEs) modelliert. Jonathan verwendete das von Biot (1941) eingeführte linearisierte Modell und erweitert es zu einem quasistatischen Konsolidationsmodell für die Bodenmechanik.

Solche Probleme sind charakterisiert durch die enorme Größe des betrachteten Gebietes, beispielsweise mehrere Kilometer an Flussbett. Dies steht im Kontrast zu den sehr kleineskaligen geometrischen Informationen, wie Sandkorngrößen und -formen, die einen Einfluss auf das System haben. Die standardmäßige Finite-Elemente-Methode zur numerischen Lösung dieses Systems von PDEs wird nur dann gute Ergebnisse liefern, wenn die Auflösung des Netzes wirklich extrem hoch ist. Dies würde zu nicht realisierbaren Rechenzeiten führen. Deshalb wird eine Idee von E und Engquist benutzt, die sogenannte Finite Element Heterogene Multiskalen Methode (FE-HMM) von 2003. Sie entkoppelt den heterogenen Teil und löst ihn durch ein mikroskopisch modelliertes Problem. Das makroskopische Problem braucht dann nur ein viel gröberes Netz und benutzt die Informationen aus dem mikroskopischen Teil als Daten.

Mathematisch gesehen verwendet die Theorie eine schwache Formulierung mit Hilfe von Bilinearformen und sucht nach Lösungen in Sobolev-Räumen. Die passende Numerik für das makroskopische Problem ist eine gemischte Finite-Elemente-Methode für ein gestörtes Sattelpunktproblem. Deshalb müssen für Existenz und Eindeutigkeit von schwachen Lösungen bestimmte Bedingungen erfüllt sein, die der klassischen LBB-Bedingung (auch inf-sup-Bedingung genannt) ähnlich sind. Das zu lösende mikroskopische Problem ist elliptisch und wird mithilfe klassischer Homogenisierungstheorie hergeleitet, wobei zusätzliche Bedingungen zur Sicherung der Zwei-Skalen Konvergenz erfüllt werden müssen.

Literatur und weiterführende Informationen

• Maurice A. Biot: General Theory of Three‐Dimensional Consolidation Journal of Applied Physics 12, 155, 1941.
• E. Weinan, Björn Engquist: The Heterogeneous Multiscale MethodsCommunications in Mathematical Sciences, Volume 1, Number 1, 87-132, 2003.
• M. Sahimi: Flow and Transport in Porous Media and Fractured Rock Wiley Weinheim, 2011.
• Assyr Abdulle e.a.: The heterogeneous multiscale method Acta Numerica Volume 21, pp. 1-87, 2012.

Podcasts

• J. Fröhlich: Getriebeauswahl, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 028, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2014.
• L.L.X. Augusto: Filters, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 112, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016.